RELATÓRIO

A função de transferência do PID é semelhante a:

Kp = Ganho proporcional

KI = Ganho integral

Kd = Ganho derivativo

Primeiramente, veremos como o controlador PID trabalha em um sistema de malha fechada usando o esquemático mostrado acima. A variável (e) representa o erro, a diferença entre o valor de entrada desejado (R) e a atual saída (Y). Esse sinal de erro (e) será enviado ao controlador PID, e o controlador calculará tanto o integral quanto o derivativo deste sinal de erro. O sinal (u) que acaba de sair do controlador é agora igual ao ganho proporcional (Kp) vezes a magnitude do erro mais o ganho integral (Ki) vezes a integral do erro mais o ganho derivativo (Kd) vezes o derivativo do erro.

Um controlador proporcional (Kp) terá o efeito de reduzir o tempo de subida e reduzirá, mas jamais eliminará, o erro em regime permanente. Um controlador integral (Ki) terá o efeito de eliminar o erro em regime permanente, mas ele deixará pior a resposta transiente. Um controlador derivativo (Kd) terá o efeito de incrementar a estabilidade do sistema, reduzindo o overshoot, e melhorando a resposta transiente. Efeitos de cada controlador Kp, Kd, e Ki em um sistema de malha fechada estão descritos na tabela a seguir.

A função de transferência entre o deslocamento X(s) e a entrada F(s) é descrita como:

Considere:

M = 1kg

b = 10 N.s/m

k = 20 N/m

F(s) = 1

Entre com estes valores na função de transferência a seguir:

O objetivo deste problema é mostrar como cada variável do controlador (Kp, Ki and Kd) contribui para obter:

Vamos primeiramente ver a resposta ao degrau em malha aberta. Crie um m-file com o seguinte código:

num=1;

den=[1 10 20];

step(num,den)

Executando este m-file no Matlab, aparecerá o gráfico plotado abaixo:

O ganho DC da função de transferência da planta é 1/20, então 0.05 é o valor final da saída e é a resposta a um degrau unitário. Isto corresponde a um erro em regime permanente de 0.95, bastante grande realmente. Além disso, o tempo de subida é aproximadamente um segundo, e o tempo de ajuste é aproximadamente 1.5 segundos. Projetemos um controlador que reduzirá o tempo de subida.

Da tabela mostrada acima, vemos que o controlador proporcional (Kp) reduz o tempo de subida, aumenta o overshoot, e reduz o erro de regime permanente. A função de transferência em malha fechada do sistema acima com um controlador proporcional é:

Deixe o ganho proporcional (Kp) igual a 300 e mude o m-file assim:

Kp=300;

num=[Kp];

den=[1 10 20+Kp];

t=0:0.01:2;

step(num,den,t)

Executando este m-file no Matlab adquirimos o seguinte resultado:

Nota: A função do Matlab chamada cloop pode ser usada para obter uma função de transferência de malha fechada diretamente de uma função de transferência de malha. O m-file seguinte usa o comando de cloop que deveria lhe dar o resultado idêntico como o mostrado acima.

num=1;

den=[1 10 20];

Kp=300;

[numCL,denCL]=cloop(Kp*num,den);

t=0:0.01:2;

step(numCL, denCL,t)

O gráfico acima mostra que o controlador proporcional reduziu o tempo de subida e o erro de regime permanente, aumentou o overshoot, e diminuiu o tempo de acomodação numa pequena fração.

Agora, demos uma olhada em um controle de PD. Da tabela mostrada anteriormente, vemos que o controlador derivativo (Kd) reduz o overshoot e o tempo de acomodação. A função de transferência de malha fechada do sistema com um controlador de PD é:

Deixe Kp igual a 300 como antes e deixe Kd igual a 10. Entre os comandos seguintes num m-file e execute.

Kp=300;

Kd=10;

num=[Kd Kp];

den=[1 10+Kd 20+Kp];

t=0:0.01:2;

step(num,den,t)

Este gráfico mostra que o controlador derivativo reduziu o overshoot e o tempo de acomodação, e teve pequeno efeito no tempo de subida e no erro de regime permanente.

• Controlador Proporcional-Integral

Antes de entrar em um controle de PID, demos uma olhada em um controle de PI. Da tabela, vemos que o controlador integral (Ki) diminui o tempo de subida, aumenta o overshoot e o tempo de acomodação, e elimina o erro em regime permanente. Para o sistema dado, a função de transferência em malha fechada com um controle PI é:

Reduzamos o Kp para 30, e deixemos Ki igual a 70. Crie um m-file novo e entre com os seguintes comandos:

Kp=30;

Ki=70;

num=[Kp Ki];

den=[1 10 20+Kp Ki];

t=0:0.01:2;

step(num,den,t)

Execute este m-file no Matlab, e você obterá o seguinte gráfico:

Nós reduzimos o ganho proporcional (Kp) porque o controlador integral também reduz o tempo de subida e aumenta o overshoot, da mesma forma como o controlador proporcional faz. A resposta acima mostra que o controlador integral elimina o erro em regime permanente.

Agora, vejamos um controlador PID. A função de transferência de malha fechada do sistema com um controlador PID é:

Depois de várias execuções de tentativa-e-erro, os ganhos Kp=350, Ki=300, e Kd=50 providenciam a resposta desejada. Para confirmar, entre os seguintes comandos num m-file e execute na janela de comando. Você deverá adquirir a seguinte resposta ao degrau:

Kp=350;

Ki=300;

Kd=50;

num=[Kd Kp Ki];

den=[1 10+Kd 20+Kp Ki];

t=0:0.01:2;

step(num,den,t)

Agora, nós obtivemos o sistema sem overshoot, tempo de subida rápido, e nenhum erro em regime permanente.

Quando você está projetando um controlador PID para um determinado sistema, siga os passos mostrados abaixo para obter uma resposta desejada:

1. Obtenha uma resposta em malha aberta e determine o que precisa de ser melhorado

2. Acrescente um controlador proporcional para melhorar o tempo de subida

3. Acrescente um controlador derivativo para o overshoot

4. Acrescente um controlador integral para eliminar o erro em regime permanente

5. Ajuste cada Kp, Ki, e Kd até que você obtenha a resposta desejada.

Há várias maneiras de se transformar sistemas contínuos em sistemas digitais. As mais usadas são:

Esta técnica assume que o dispositivo analógico H2(S), que pode ser um motor, é precedido de um ZOH e seguido de um sampler. Um ZOH é um dispositivo que converte um sinal digital em um sinal analógico de acordo com a figura abaixo:

Nesta técnica, os pólos do domínio S são diretamente mapeados para o domínio Z de acordo com a equação:

,onde T = período de amostragem.

Esta técnica, também chamada de aproximação de Tustin, utiliza a seguinte equação:

A partir deste ponto, usaremos as técnicas mencionadas na solução do controle de velocidade de um motor DC.

Lembre-se que a função de transferência contínua para um controlador PID é:

Há vários técnicas para digitalizar um sistema analógico. A mais precisa é:

Nós não podemos obter a função de transferência deste modo porque a função de transferência no domínio Z teria mais zeros do que pólos, o que não é realizável. Ao invés disso vamos usar a transformação bilinear mostrada como segue:

Assim nós podemos derivar o controlador PID discreto usando a transformação bilinear. Abaixo, usaremos a técnica bilinear na digitalização de um PID.

*Extraído do spru83.pdf da Texas Instruments.

Ao concluir a transferência do PID e do motor para o domínio Z, criamos um m-file para observar a resposta em malha fechada, do sistema, a um degrau unitário:

numaz = conv(numz,numcz);

denaz = conv(denz,dencz);

[numaz_cl,denaz_cl] = cloop(numaz,denaz);

[x2] = dstep(numaz_cl,denaz_cl,101);

t=0:0.12:12;

stairs(t,x2)

xlabel('Time (seconds)')

ylabel('Velocity (rad/s)')

title('Stairstep Response:with PID controller')

Ao observarmos a figura acima, notamos que o sistema é instável, levando-nos a uma análise dos pólos para um correto projeto de PID.

Da figura abaixo, notamos que os pólos que estão fora do círculo unitário tendem a levar o sistema à instabilidade.

Criamos um m-file que visualiza os pólos do sistema, com um parâmetro K que vai de zero até o infinito. Podemos ver, a partir do help de rlocus abaixo, que os pólos se deslocam conforme a alteração do valor K.

RLOCUS(SYS) computes and plots the root locus of the single-input,

% single-output LTI model SYS. The root locus plot is used to

% analyze the negative feedback loop

%

% +-----+

% ---->O----->| SYS |----+---->

% -| +-----+ |

% | |

% | +---+ |

% +-------| K |<----+

% +---+

%

% and shows the trajectories of the closed-loop poles when the feedback

% gain K varies from 0 to Inf. RLOCUS automatically generates a set of

% positive gain values that produce a smooth plot.

rlocus(numaz,denaz)

title('Root Locus of Compensated System')

Podemos ver que o PID contribui com um pólo em -1. É necessário reprojetar o PID para que seu pólo coincida com o zero que está em -0.62. Isto tornará o sistema estável para pelo menos alguns ganhos (K).

O arquivo do Matlab abaixo reprojeta o pólo do PID que estava em -1, para a posição -0.62. Usando o comando rlocus novamente, notamos o deslocamento do pólo citado acima, conforme podemos ver no gráfico.

A seguir, notamos que para alguns Ks, o sistema é instável, e para outros, torna o sistema estável. O comando rlocfind calcula o valor de K na posição do pólo indicada pela seta do mouse. Se você clicar o mouse nos lugares indicados por '+', os pólos estarão dentro do círculo unitário tornando o sistema estável, conforme podemos ver na resposta em degrau utilizando-se do K encontrado pelo rlocfind.

dencz = conv([1 -1],[1.6 1])

numaz = conv(numz,numcz);

denaz = conv(denz,dencz);

rlocus(numaz,denaz)

title('Root Locus of Compensated System');

[K,poles] = rlocfind(numaz,denaz)

[numaz_cl,denaz_cl] = cloop(K*numaz,denaz);

[x3] = dstep(numaz_cl,denaz_cl,101);

t=0:0.12:12;

stairs(t,x3)

xlabel('Time (seconds)')

ylabel('Velocity (rad/s)')

title('Stairstep Response:with PID controller')

A figura anterior mostra que o tempo de acomodação é menor que 2 segundos.

Concluindo, podemos comparar com a resposta do sistema ao degrau, sem controlador, e notaremos que os parâmetros tempo de subida, overshoot, erro em regime permanente e tempo de acomodação são melhores no caso em que dispomos de um PID.